2013年2月18日月曜日

4次元や5次元や11次元が想像できない?それはきっと難しく考え過ぎだよ

画像認識とかしたいって先日言ってたでしへ。

一般に、特に非科学者に4次元以上の対象について話題にすると悪くすると気狂い、悪いまでいかなくとも何かスゴイハナシダネーと聞く耳持たれずにスルーされる事が多いと思います。

これは、一般に人々が「次元」なる概念を人間のスケールでせいぜい生活圏程度のローカルで直感的な人間にとってのこの世界の空間認識における「次元」の話に直結して捉えてしまう為です。

中には、こうした認識の上に続いて4次元と聞けば「XYZに加えての時間軸だね!」としたり顔で答える方も居ます。でも、5次元とか11次元とかはさっぱり分からない(実際科学的にもそれがなんであるか1つも分かっていない)ので話が続かなくなったり。

そもそも「次元」とは、何やら神視点で世界を考えた時の、世界を構成する要素の軸の1つ1つであるみたいな、その考え方が実は既に「特殊」なのです。とりあえず、次元をもっと柔軟に考えてみましょう

例えば身近で簡単に取り扱える4次元以上の例を挙げてみましょう。

突然ですが、キャラクターを育てて冒険するRPG(ロールプレイングゲーム)を考えて見て下さい。対戦型のTCG(トレーディングカードゲーム)やTRPG(テーブルトークRPG)の方がこれから挙げる例には適切かもしれませんが、本質的には大差ありません。

キャラクターにはHP(残りの体力)があって、他にはSTR(力の強さ), INT(知性の高さ), AGI(素早さ), VIT(打たれ強さ), LUK(幸運っぷり)の5つのパラメーターを持っているとします。

さて、このキャラクターのパラメーターは何次元でしょう?

→ こたえ:5次元

別の例も考えてみよう。どうやら味覚センサーなるものが開発されているらしい。食品をサンプルとして与えると酸味苦味雑味旨味塩味苦味渋味旨味コクの7つのパラメーターを出力してくれるらしい。

さて、この味覚センサーの出力データの次元は?

→こたえ:7次元

キャラクターの例であれ、味覚センサーの例であれ、デカルト座標でこのパラメーター集合により構成される多次元のベクターを脳内で考えましたか?おそらくこの例ならばそんなものわざわざ考えずに、或いは上手くレーダーチャートを思い浮かべて認識する事ができた方が多いと思います。それで良いのです。

ちなみにベクター(Vector)とは幾つかの独立した(或いはそう見做せる)パラメーター群によって表されるその空間の指標においての1つの「特徴」です。パラメーターは具体的な値を持ちますから、この幾つかの独立したパラメーターの次元からなる量をまとめた1つのベクターそのものを「特徴量」と言ったりもします。

先の例では他に取り柄が無いがとんでもなく幸運なキャラクターと言う特徴もありえるし、酸味と苦味だけが特徴の食べ物も、いずれそのベクターの置かれる空間(RPGのキャラクターのパラメーター空間であるとか味覚センサーの出力パラメーター空間であるとか)に、各パラメーターに何らかの値(STRであったりINTであったり、或いは酸味であったり苦味であったり)を持ったパラメーターの集合です。

考える空間について同じベクターは同じ性質や振る舞いを示し、同じでなくとも近いパラメーター群を持つベクター同士は似た性質を持っていると示唆されるでしょう。

ともあれ、今回言いたかった事は、

  • 4次元とか5次元とかデカルト座標にマッピングして考えなくて良いんだよ
  • 何らかのデータ群を分析するときに好きなN個の次元の指標を仮定して良いんだよ
  • ベクターてのは(互いに独立性の高い)パラメーター集合だけだよ
  • 特徴量てのはデータを分析する際に仮定した空間で示されるあるベクターの事に過ぎないんだよ
と言ったところ。

無理に多次元の空間を実生活に近いXYZのデカルト座標を基準に考えなくても、任意の次元の空間とその空間での特徴量たるベクター、簡単にイメージしたければレーダーチャートを使ったら考えやすい。

たまたま人間はローカルな空間をXYZの3次元のデカルト座標で認識して日常生活を送っているから直感的に比較的低次の空間の想像にそれを応用しやすいってだけの事で、実際はその空間認識だって、レーダーチャートでXYZを示したって同じベクターは同じベクターだしね(直感的ではなくなるだろうけど)。

そんなわけで、多次元とかベクターとか、あんまり肩肘張らずにのほほんと認識してサイエンスして欲しいな。

ps. 画像認識の話がまったく出て来なかったって?SIFTとかSURFとかをキーワードに画像認識の手法そこで扱われている特徴量についてちょっと調べてごらん。

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